พีชคณิตระดับมัธยมศึกษาตอนต้น
ระบบจำนวนจริง
พีชคณิตเป็นคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับระบบโครงสร้างกับการดำเนินการของวัตถุเชิงคณิตศาสตร์ ในบทเรียนนี้จึงเป็นการศึกษาพีชคณิตระบบจำนวนจริงในระบบมัธยมศึกษาตอนต้นประกอบด้วย 1) วัตถุหรือสัญลักษณ์ในระบบซึ่งก็คือจำนวนจริง 2) นิพจน์เชิงพีชคณิตซึ่งเป็นกลุ่มก้อนของสมาชิกในระบบ 3) การแยกตัวประกอบเสมือนการจำแนกองค์ประกอบของนิพจน์ 4) ความสัมพันธ์เส้นตรงเชิงเปรียบเทียบในรูปของประโยคสัญลักษณ์สมการและอสมการเส้นตรง และ 5) ความสัมพันธ์กำลังสองเชิงเปรียบเทียบในรูปของประโยคสัญลักษณ์สมการและอสมการกำลังสอง และ 6) ความสัมพันธ์เชิงสัดส่วน ซึ่งเป็นพื้นฐานที่สำคัญมากต่อการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูง
ภาพที่ 1 ระบบจำนวนจริง
ดัดแปลงจาก College mathematics and calculus with applications to management, life and social sciences, หน้า 7
ที่มา วีระ ยุคุณธร
1.1 จำนวนจริง
ตัวเลขเป็นสัญลักษณ์ที่มนุษย์ใช้แทนปริมาณต่างที่มีอยู่ในธรรมชาติ ในยุคเริ่มแรกเรารู้จักจำนวนที่มีลักษณะเต็มหน่วยที่เป็นปริมาณเชิงประจักษ์ในธรรมชาติ ชุดจำนวนเหล่านี้ถูกนำมารวมกันเป็นเซตเรียกว่าเซตจำนวนนับ (Natural numbers) ต่อมามีการกำหนดเลขศูนย์ และจำนวนตรงกันข้ามกับจำนวนนับ จึงเรียกจำนวนสามกลุ่มนี้ใหม่ว่า จำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มศูนย์ และจำนวนเต็มลบ เกิดเป็นเซตจำนวนเต็ม ต่อมามีการศึกษาปริมาณเชิงสัดส่วน (Ratio) ที่เกิดจากการแบ่งในลักษณะการหารกันระหว่างจำนวนเต็ม รวมถึงการการหาผลหารที่อยู่รูปทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบชนิดทศนิยมซ้ำ เมื่อผนวกกับระบบจำนวนที่มีก่อนหน้าเราเรียกเซตจำนวนกลุ่มนี้ว่าเซตจำนวนตรรกยะ (Rational numbers) สำหรับจำนวนที่อยู่นอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเรียกว่าเซตจำนวนอตรรกยะ ผลผนวกสุดท้ายทำให้เราได้เซตจำนวนที่เรียกว่าเซตจำนวนจริง ระบบจำนวนจริงนี้สามารถอธิบายเป็นภาพด้วยเส้นจำนวนแสดงการจัดเรียงอันดับ และการวัดระยะระหว่างตำแหน่งสองตำแหน่งเมื่อเราแทนตำแหน่งด้วยจุดบนเส้นจำนวน
1.1.1 เซตจำนวนจริง
จากที่กล่าวมาข้างต้นเซตจำนวนนับเป็นชุดตัวเลขชุดแรกสุดที่มนุษย์สัมผัสได้ การมีอยู่ของจำนวนนับจึงเป็นสัจพจน์ เรียกว่าสัจพจน์ของเปอาโนว่าด้วยการมีอยู่ของยูนิตแทนด้วยสัญลักษณ์ 1 และพจน์ตามของ 1 (1*) แทนด้วย 2 ซึ่งมีเพียงพจน์เดียว โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ทำให้ได้ 3, 4, 5,… เกิดเป็นเซตจำนวนนับนั้นคือ
เซตของจำนวนนับ N = { 1, 2, 3, … }
หากเราพิจารณาการบวกด้วย 1 จะพบว่า
a + 1 = a* และ a + 1* = a + 1 + 1 = (a + 1)*
พิจารณา
3 + 2 = 3 + 1* = (3+1)* = 4* = 5
การบวกด้วย 2 จึงเป็นการเพิ่มที่ละ 1 จำนวนสองครั้ง เป็นที่ทราบกันดีว่าการเพิ่มทำให้ปริมาณเพิ่มขึ้น และการลดทำให้ปริมาณลดลง คำถามที่น่าสนใจคือการเพิ่มที่ทำให้ปริมาณยังคงเท่าเดิม และการเพิ่มที่ทำให้ปริมาณมีค่าน้อยลงคือจำนวนใดในเซตของจำนวนนับ { 1, 2, 3, … } ซึ่งพบว่าเซตดังกล่าวไม่มีเพียงต่อการตอบคำถามว่า 1 + x = 1 แล้ว x คือจำนวนใด จึงมีการเพิ่มจำนวนศูนย์ { 0 } ซึ่งใช้อธิบายตัวบวกที่ทำให้ผลบวกยังคงมีค่าเท่าเดิมเรียกว่าเอกลักษณ์การบวก เมื่อรวม 0 เข้าในไปเซตจำนวนนับจะได้จำนวนทั้งหมด
W = {0,1,2,…}
สำหรับตัวเพิ่มที่ทำให้มีค่าลดลงเป็นศูนย์คือถ้า 1 + x = 0 แล้ว x เป็นจำนวนใดเราจึงสร้าง (-1) เมื่อตอบคำถามที่ว่า 1 + (-1) = 0 ในทำนองเดียวกัน 2 + x = 0 จึงมี -2 ดังนั้นสำหรับ {1,2,3,…} จะต้องสร้างกลุ่มจำนวน
{-1,-2,-3, ….} เป็นเซตของจำนวนตรงกันข้ามกับ {1,2,3,…}
เมื่อนำชุดตัวเลขมารวมกันจะได้ {…,-2,-1,0,1,2,…} เป็นเซตจำนวนเต็มจำแนกเป็น 3 กลุ่มได้แก่
เซตจำนวนเต็ม Z = {…,-2,-1,0,1,2,…}
เซตจำนวนเต็มบวก Z+ = {1,2,3,…}
เซตจำนวนเต็มศูนย์ Z0 = {0}
เซตจำนวนเต็มลบ Z- = {-1,-2,-3,…}
สำหรับการคูณในเซตจำนวนเต็มจะเห็นว่าไม่ว่านำจำนวนใดก็ตามสองจำนวนมาคูณกัน ผลคูณจะยังคงอยู่ในเซต แต่สำหรับการหารเราแบ่งพิจารณาเป็นการหารด้วยศูนย์ การหารด้วย 1 และ -1 และ การหารด้วยจำนวนที่เหลือ
การหารด้วยศูนย์ไม่สามารถกำหนดค่าผลหารหรือนิยามความหมายได้ดังนั้น การหารด้วยศูนย์จึงไม่นิยาม ในระบบพีชคณิตเราจะเรียกพจน์ที่มีการหารด้วย 0 ว่า พจน์ที่ไม่นิยาม (undefined term)
การหารด้วยหนึ่งจะทำให้จำนวนเดิมดังนั้นชุดจำนวน {…,-2,-1,0,1,2,…} เพียงพอสำหรับการหาผลหารด้วย 1 รวมไปถึง -1 ด้วยซึ่งจะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็นจำนวนตรงกันข้าม
การหารด้วยจำนวนอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ -1, 0 และ 1 จะทำให้เกิดจำนวนชนิดใหม่ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม นิยามเขียนแทนด้วยเศษส่วนเช่น 1/2 , 5/3, -7/6 เป็นต้น หากเราใช้วิธีการตั้งหารยาวเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยมจะพบว่าผลหารจะอยู่ในรูปของทศนิยมรู้จบ และทศนิยมไม่รู้จบชนิดทศนิยมซ้ำ
จะเห็นว่า Z = {…,-2,-1,0,1,2,…} สามารถเขียนได้ในรูปเศษด้วยโดยการหารด้วย 1 เมื่อผนวกเข้าเศษส่วนที่เกิดจากการนำจำนวนเต็มหารจำนวนเต็มเราจะได้ชุดจำนวนที่แสดงสัดส่วนเรียกว่าจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะ Q = { a/b , a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ไม่เป็นศูนย์ }
ข้อสังเกตของจำนวนตรรกยะคือจำนวนที่มีค่าเท่ากับ 1/2 มีได้หลายค่าเช่น 2/4, -3/6 เป็นต้นแต่อย่างไรก็ตามหากพิจารณาเศษส่วนอย่างต่ำนั้นจะเขียนได้เพียงแบบเดียวนั้นคือ a/b จะเป็นเศษส่วนอย่างต่ำเมื่อตัวหารร่วมมากของ a และ b มีค่าเท่ากับ 1
อย่างไรก็ตามยังมีจำนวนอื่น ๆ ที่อยู่น้องเหนือจากจำนวนตรรกยะเช่นในทฤษฎีพิธากอรัสถ้าเราวาดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละหนึ่งหน่วยเมื่อวัดความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากเราไม่สามารถระบุขนาดที่แจ่มชัดได้ อีกนัยนึงสังเกตได้ว่าหากเราพิจารณา
x2 = 0 เราจะพบว่า x = 0
x2 = 1 เราจะพบว่า x = -1 หรือ x = 1
x2 = 2 เราจะพบว่า ด้วยระบบจำนวนตรรกยะไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้
x2 = 3 เราจะพบว่า ด้วยระบบจำนวนตรรกยะไม่สามารถตอบคำถามนี้ได้เช่นกัน
x2 = 4 เราจะพบว่า x = -2 หรือ x = 2
พบว่าถ้า x2 = 0, 1, 4, 9, 16, … จะมีจำนวนตรรกยะที่เป็นคำตอบของ x แต่หากพิจารณา x2 = 2, 3, 5 เป็นต้นเราจะต้องสร้างจำนวนเรียกว่า กรณฑ์ ซึ่งเท่ากับเป็นจำนวนสำหรับตอบคำถาม x2 = 2 นอกจากนี้ยังมีปริมาณอื่นเช่น ค่าพาย และ ค่า e ซึ่งเป็นชุดตัวเลขนอกเหนือจากจำนวนตรรกยะเรียกว่า อตรรกยะเขียนแทนด้วย Qc
เราจึงรวมเซตของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะเข้าด้วยกันเรียกว่าจำนวนจริง ( R )
1.1.2 การเปรียบเทียบระหว่างจำนวน
ในระบบจำนวนจริงหากเราใช้ 0 เป็นจำนวนเปรียบเทียบกับจำนวนจริงที่เหลือจะแบ่งได้เป็น 2 กลุ่มคือจำนวนจริงบวกซึ่งเป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 0 และ จำนวนจริงลบหมายถึงจำนวนจริงที่น้อยกว่า 0 จะพบว่า
จำนวนจริงลบ < 0 < จำนวนจริงบวก
นั้นคือจำนวนจริงบวกมีค่ามากกว่าจำนวนจริงลบทุกจำนวน
การเปรียบเทียบจำนวนจริงบวกกับจำนวนจริงบวก จำนวนจริงบวกที่อยู่ห่างจากศูนย์มากกว่าจะมีค่ามากว่าเช่น 4 อยู่ห่าง จาก 0 มากกว่า 3 ดังนั้น 4 > 3 เมื่อพิจารณาผลลบจะเห็นพบว่า
4 > 3 แล้ว 4 – 3 > 0
3 < 4 แล้ว 3 – 4 < 0
กรณีเปรียบเทียบจำนวนจริงลบกับจำนวนจริงลบจะได้ผลในทิศทางตรงกันข้ามกล่าวคือ จำนวนจริงลบที่ห่างจากศูนย์มากกว่าจะมีค่าน้อยกว่าเช่น (-4) อยู่ห่าง จาก 0 มากกว่า (-3) ดังนั้น -4 < -3 เมื่อพิจารณาผลลบจะเห็นพบว่า
(-4) < (-3) แล้ว -4 – (-3) = (-4) + 3 < 0
(-3) > (-4) แล้ว -3 – (-4) = (-3) + 4 > 0
นอกจากนี้หากเราพิจารณาจำนวนสองจำนวนที่เท่ากันเราจะพบว่าผลลบมีค่าเท่ากับ 0 นั้นคือ
4 = 4 พบว่า 4 – 4 = 0
การเปรียบเทียบจำนวนระหว่างสองจำนวนจึงสามารถเปรียบเทียบโดยใช้ผลลบได้ดังนี้
a < b แล้ว a – b < 0
a > b แล้ว a – b > 0
a = b แล้ว a – b = 0
สรุปได้ตามกฏ trichotomy ที่กล่าวไว้ว่า เมื่อเปรียบเทียบจำนวนจริงใด ๆ 2 จำนวน a และ b แล้วผลการเปรียบเทียบเป็นไปได้ว่า a < b หรือ a > b หรือ a = b อย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้นในกรณีที่พิจารณาจำนวนที่ไม่มากกว่าจึงเป็นไปได้ 2 อย่างคือ น้อยกว่า หรือ เท่ากัน
1.1.3 เส้นจำนวน
การสร้างตัวแทนเซตจำนวนจริงนั้นอาจใช้เส้นจำนวนแสดงเซตจำนวนจริงทั้งหมดโดยที่มี 0 เป็นสมาชิกแบ่งกั้นจำนวนจริงบวกและจำนวนจริงลบ
เส้นจำนวนที่ใช้แทนจำนวนเต็มแสดงได้ดังรูปที่ 3 มีการจัดเรียงลำดับจากน้อยไปมากและระยะห่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่า 1 หน่วย
รูปที่ 3 จำนวนเต็มบนเส้นจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร
รูปที่ 4 จำนวนตรรกยะ 3/4 แสดงได้โดยการแบ่งระยะห่างระหว่าง 0 และ 1 ออกเป็น 4 ส่วนและค่าในตำแหน่งที่ 3 มีค่าเท่ากับ 3/4 รูปที่ 5 เป็นการระบุตำแหน่งของจำนวน -1.875 = -1 - 7/8 นั้นคือแบ่งระยะระหว่าง -2 และ -1 ออกเป็น 8 ส่วนค่าในตำแหน่งที่ 7 ที่ห่างจาก -1 จะมีค่าเท่ากับ -1.875 ดังที่แสดงไว้ในรูปที่ 5
รูปที่ 4 ตำแหน่งจำนวนตรรกยะ 3/4 บนเส้นจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร
รูปที่ 5 ตำแหน่ง -1 7/8 บนเส้นจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร
สำหรับจำนวนอตรรกยะที่เป็นค่ากรณฑ์สามารถแสดงโดยใช้ทฤษฎีบทพิธากอรัสดังรูปที่ 6 ตัวอย่างเช่น กรณฑ์ของ 2 สามารถระบุตำแหน่งได้จากการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาวด้านละ 1 หน่วย จากนั้นสร้างส่วนโค้งวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากตัดกับเส้นจำนวนจริง ระยะจากศูนย์ไปยังจุดตัดจะมีค่าเท่ากับความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากคือกรณฑ์ของ 2
รูปที่ 6 ตำแหน่ง กรณฑ์ของ 2 บนเส้นจำนวนจริง
ที่มา วีระ ยุคุณธร
อย่างไรก็ตามการวัดระยะทางบนเส้นจำนวนจริงนั้นระยะทางมีค่าเป็นบวกเสมอ นั้นคือหากเราวัดระยะทางระหว่าง 3 และ 5 จะมีค่าเท่ากับ ระยะทางระหว่าง 5 และ 3 แม้ว่าผลลบจะได้ -2 และ 2 ตามลำดับ เราจึงนิยามขนาดระยะทางด้วยสัญลักษณ์ค่าสัมบูรณ์ โดยนิยามว่าค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| คือ ระยะทางระหว่าง 0 และ a อาจเขียนได้ว่า
|a| = |a – 0| = |0 – a| = |-a|
สอดคล้องกับความเป็นจริงที่ว่าระยะห่างระหว่าง a กับ 0 เท่ากันกับระยะห่างระหว่าง –a และ 0 พิจารณาข้อสังเกตุเกี่ยวกับค่าสัมบูรณ์เพื่อนำไปสู่นิยามเขิงพีชคณิต
ขัอสังเกตที่ 1 ถ้า a เป็นจำนวนบวก (a > 0) จะได้ว่า |a| เป็นค่าบวก นั้นคือ |a|ร = a
ข้อสังเกตที่ 2 ถ้า a เป็นจำนวนลบ (a < 0) จะได้ว่า |a| ยังคงเป็นค่าบวกที่ตรงข้ามกับ a ดังนั้น |a| = -a
จากข้อสังเกตทั้งสองข้อเราสรุปเป็นนิยามได้ดังนี้
|a| = a ถ้า a > 0 และ |a| = -a ถ้า a < 0
หากใช้นิยามข้างต้นขยายนิยามเป็นระยะทางระหว่างจุด a และ b จะได้ว่า
|a - b| = a – b ถ้า a - b > 0 และ |a – b| = - (a - b) ถ้า a - b < 0
เพื่อความสะดวกในการประยุกต์ใช้เราควรเรียบเรียงข้อสังเกตใหม่ดังนี้
|a - b| = a – b ถ้า a > b และ | a – b | = b - a ถ้า b > a
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
เราจะศึกษาพีชคณิตที่ถูกสร้างขึ้นบนเซตจำนวนจริง ก่อนอื่นเราต้องทำความเข้าใจเกี่ยวกับคำศัพท์ซึ่งเป็นข้อตกลงเพื่อให้ทุกคนที่ศึกษาพีชคณิตเข้าใจตรงกัน เมื่อกล่าวถึง นิพจน์เชิงพีชคณิต หมายถึง กลุ่มของตัวแปรและค่าคงที่ที่ดำเนินการด้วยการบวก ลบ การคูณ การหารด้วยตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์ การยกกำลัง กรณฑ์ เป็นต้น โดยที่ ค่าคงที่ แทนปริมาณที่แทนได้ด้วยจำนวนจริงเพียงค่าเดียว และเรานิยามศัพท์คำว่า ตัวแปร แทนจำนวนจริงที่เป็นไปได้ซึ่งมีเพียงค่าเดียวหรือหลายค่าก็ได้ นิพจน์ที่เขียนในรูปการบวกมากกว่า 1 พจน์โดยจำนวนพจน์นั้นขึ้นกับการบวก นิพจน์ที่อยู่ในรูปการคูณของตัวแปรหรือค่าคงที่หรือนิพจน์ย่อยเราเรียกส่วนประกอบของนิพจน์นี้ว่าตัวประกอบ
ที่มา ดัดแปลงจาก https://pixabay.com, geralt
1.2.1 ตัวอย่างการวิเคราะห์นิยามศัพท์
ค่าคงที่ หมายถึงปริมาณที่แทนด้วยจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวเช่น 2, -3, e, pi, 1.7 เป็นต้น
ตัวแปร หมายถึงปริมาณที่สามารถแทนได้ด้วยจำนวนจริงมากกว่าหรือเท่ากับ 1 ค่าเช่น
กำหนดให้ x แทนจำนวนเต็มคู่ที่ซึ่งมากกว่า 0 นั้นคือ x = { 2, 4, 6, … }
กำหนดให้ y แทนจำนวนจริงที่มากว่า -3 แต่ น้อยกว่า 7 นั้นคือ -3 < y < 7
กำหนดให้ z เป็นจำนวนที่บวกกับ 3 แล้วเท่ากับ 7
จำนวนพจน์ นิพจน์นั้นเขียนในรูปผลคูณของค่าคงที่หรือตัวแปรหรือนิพจน์จะถูกนับเพียงพจน์เดียวและเรียกตัวคูณแต่ละตัวว่าตัวประกอบเช่น
นิพจน์ 2ab นับเป็น 1 พจน์มี 2 , a และ b เป็นตัวประกอบ
นิพจน์ 2a(a+b) นับเป็น 1 พจน์มี 2, a และ (a+b) เป็นตัวประกอบ
นิพจน์ (a+b)(a-b) นับเป็น 1 พจน์มี (a+b) และ (a-b) เป็นตัวประกอบ
นิพจน์ 2aa+b นับเป็น 2 พจน์คือ 2aa และ b
นิพจน์ a2-b2 นับเป็น 2 พจน์คือ a2 และ b2
ดังนั้นเมื่อเราพิจารณาการคำนวณ
ตัวอย่างที่ 1 5 + 12/4 + 4/2x2 + 1x3
นับเป็น 4 พจน์ได้แก่ 5, 12/4 = 3, 4/2x2 = 4 และ 1x3 = 3 จะได้
5 + 12/4 + 4/2x2 + 1x3 = 5 + 3 + 4 + 3 = 15
ตัวอย่างที่ 2 5 + 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2]
นับเป็น 2 พจน์คือ 5 และ 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2]
พิจารณานิพจน์ 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2] มี 2 ตัวประกอบคือ 2 และ 1 - 2(3 - 5) - 12/2
พิจารณานิพจน์ 1 - 2(3 - 5) - 12/2 นับเป็น 3 พจน์คือ 1, -2(3-5) และ -12/2
เมื่อคำนวณย้อนกลับจะได้
5 + 2[1 - 2(3 - 5) - 12/2] = 5 + 2[1 - 2(-2) - 6] = 5 + 2[1 + 4 - 6] = 5 + 2[-1] 5 + (-2) = 3
1.2.2 ตัวดำเนินการบวกและคูณ ตัวดำเนินการในระบบพีชคณิตนั้นเรากำหนดไว้เพียงตัวดำเนินการบวกเพื่อใช้นับจำนวนพจน์ และตัวดำเนินการคูณไว้สำหรับดูตัวประกอบ ซึ่งการลบนั้นถูกนิยามเป็นการบวกด้วยจำนวนลบ ในขณะเดียวกับการหารถูกนิยามเป็นการคูณด้วยตัวส่วนผกผันเช่น 2 – 5 = 2 + (-5) และ 2/5 = 2 x (1/5) เป็นต้น
หลักการของการบวกในระบบพีชคณิตคือพจน์ที่สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้พจน์นั้นจะต้องเป็นพจน์ที่คล้ายกัน ซึ่งถูกนิยามศัพท์ไว้ว่า เป็นพจน์ที่มีชุดตัวแปรเหมือนกันตัวอย่างเช่น
2x + 3x นิพจน์นี้ประกอบด้วยพจน์ 2 พจน์ที่มีตัวแปร x เหมือนกันดังนั้น 2x และ 3x เป็นพจน์ที่คล้ายกันเขียนเป็นรูปแบบอย่างง่ายได้ดังนี้
2x + 3x = 5x
2x + 3y นิพจน์นี้ประกอบด้วยพจน์ 2 พจน์ที่มีตัวแปร x และ พจน์ที่มีตัวแปร y ดังนั้น 2x และ 3y ไม่เป็นพจน์ที่คล้ายกัน ไม่สามารถรวมพจน์ได้
x2 + 3y - 3x2 + 7y + 4 นิพจน์นี้ประกอบด้วยพจน์ 5 พจน์โดยที่มีพจน์ที่คล้ายกัน 2 คู่คือ x2, -3x2 และ 3y, 7y สามารถรวมพจน์ในรูปอย่างง่ายได้ดังนี้
x2 + 3y - 3x2 + 7y + 4 = -2x2 + 10y + 4
1.2.3 พหุนามตัวแปรเดียว
พหุนามตัวแปรเดียวดีกรี n หมายถึงนิพจน์ที่เขียนในรูปของผลบวกของชุดตัวแปร {1, x, x2, x3, …, xn} โดยที่มีค่าสัมประสิทธิ์ a0, a1, a2, …, an เป็นค่าคงที่หน้าตัวแปร โดยที่ an ไม่เป็นศูนย์
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
ตัวอย่าง
พหุนามดีกรี 1 := x – 5
แยกชุดสัมประสิทธิ์ (1, -5) ออกจาก ชุดตัวแปร (x, 1)
พหุนามดีกรี 2 := y2 + 8y – 9
แยกชุดสัมประสิทธิ์ (1, 8, – 9) ออกจากชุดตัวแปร (y2, y, 1)
พหุนามดีกรี 3 := a3 - 2a + 1
แยกชุด (1, 0, -2, 1) ออกจากชุดตัวแปร (a3, a2, a, 1)
การบวกและลบพหุนาม สมมติให้ p เป็นพหุนามดีกรี m และ q เป็นพหุนามดีกรี n แล้ว
deg(p+q) น้อยกว่าหรือเท่ากับ max{ deg(p), deg(q) }
ตัวอย่างที่ 3 เช่น (4x2 + 2x + 3) + (5x3 - 7x + 8) จะเห็นว่าผลบวกมีดีกรีไม่เกิน 3 ชุดแยกสัมประสิทธิ์ออกจากชุดตัวแปร (x3, x2, x, 1) จะได้
ดังนั้น (4x2 + 2x + 3) + (5x3 - 7x + 8) = 5x3 + 4x2 - 5x + 11
ตัวอย่างที่ 4 (4x2 + 2x + 3) - (5x3 - 7x + 8)
ดังนั้น (4x2 + 2x + 3) - (5x3 - 7x + 8) = -5x3 + 4x2 + 9x – 5
การคูณพหุนาม สมมติให้ p เป็นพหุนามดีกรี m และ q เป็นพหุนามดีกรี n แล้ว
deg(pq) เท่ากับ deg(p) + deg(q)
ตัวอย่างที่ 5 (4x2 + 2x + 3)(5x3 - 7x + 8) จะเห็นว่าผลคูณมีดีกรี 2+3 = 5 ชุดตัวแปรของคำตอบคือ (x5, x4, x3, x2, x, 1) จะได้
ดังนั้น (4x2 + 2x + 3)(5x3 - 7x + 8) = 20x5+10x4 -13x3+18x2-5x+24
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
1.1 การแยกตัวประกอบอย่างง่าย
ในการคำนวณทางพีชคณิตมีนิพจน์ผลบวกหรือผลต่างบางนิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณทำให้ได้นิพจน์ที่มีเพียงพจน์เดียวซึ่งอยู่ในรูปที่ง่ายกว่ายิ่งไปกว่านั้นอาจจำนวนครั้งในการคำนวณลดน้อยลงเช่น
ax + bx + cx = (a + b + c)x
จำนวนครั้งในการคำนวณลดลง 5 – 3 = 2
a3 + 3a2 + 3a +1 = (a+1)3
จำนวนครั้งในการคำนวณลดลง 8 – 3 = 5
ในบทเรียนนี้นำเสนอวิธีการแยกตัวประกอบสามวิธีได้แก่วิธีดึงตัวร่วม วิธีผลต่างกำลังสอง และ วิธีแยกตัวประกอบพหุนามกำลังสองที่มีสามพจน์
1.3.1 วิธีดึงตัวร่วม หลักการคือจะต้องหาตัวหารร่วมมากของพจน์ในนิพจน์โดยพิจารณาจากค่าคงที่และตัวแปรแต่ละตัวแปร
ตัวอย่างที่ 6 10x2y2 + 6xy2 - 8x2y3 นิพจน์มีจำนวน 3 พจน์ 10x2y2, 6xy2 และ -8x2y3
หา หรม.
แยกตัวประกอบได้ดังนี้ 10x2y2 + 6xy2 - 8x2y3 = 2xy2(5x + 3 - 4xy)
ตัวอย่างที่ 7 2x(a + 2b) – (a + 2b)7y นิพจน์มีจำนวน 2 พจน์คือ 2x(a+2b), – (a+2b)7y
หรม. คือ
แยกตัวประกอบได้ดังนี้ (a + 2b) (2x – 7y)
1.3.2 แยกตัวประกอบด้วยผลต่างกำลังสอง หลักการนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อในนิพจน์มี 2 พจน์ที่อยู่ในรูปของผลต่างจากนั้นเขียนแต่ละพจน์ให้อยู่ในรูปกำลังสองเพื่อใช้สูตร x2 - y2=(x - y)(x + y)
ตัวอย่างที่ 8 25a2 – 16b2 นิพจน์มีจำนวน 2 พจน์คือ 25a2 และ 16b2 เขียนในรูปกำลังสองได้เป็น (5a)2 และ (4b)2 แยกตัวประกอบได้ดังนี้
25a2 – 16b2 = (5a)2 - (4b)2 = (5a - 4b)(5a + 4b)
ตัวอย่างที่ 9 81a4 – 1 นิพจน์มีจำนวน 2 พจน์คือ 81a4 และ 1 เขียนในรูปกำลังสองได้เป็น (9a2)2 และ (1)2 แยกตัวประกอบได้ดังนี้
81a4 – 1 = (9a2)2 - (1)2 = (9a2 - 1)( 9a2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1) ( 9a2 + 1)
1.3.3 ตัวประกอบพหุนามกำลังสองตัวแปรเดียว ในบทเรียนนี้จะให้วิธีการคาดการณ์ตัวเลขซึ่งจะใช้กับนิพจน์บางรูปแบบเท่านั้น ก่อนอื่นเราพิจารณา พหุนามกำลังสองตัวแปรเดียวในรูปทั่วไปนั้นคือ ax2 + bx + c โดยที่ a ไม่เป็นศูนย์ พิจารณา
ax2 + bx + c = ax2 + (p+q)x +c
= g1x(ax/g1 + p/g1) + g2(qx/g2 +c/g2)
โดยที่ g1 = หรม.(a,p) และ g2 = หรม.(q,c)
ถ้ากำหนดให้ a/g1=q/g2 และ p/g1=c/g2 จะได้ว่า pq = ac ทำให้เราสามารถดึงตัวร่วมได้ ดังนั้น
ax2 + bx + c = (g1x + g2)(ax/g1 + p/g1)
สรุปได้เป็นทฤษฎีดังนี้
ถ้า pq = ac และ p+q = -b แล้ว ax2 + bx + c = (g1x + g2)(ax/g1 + p/g1)
เมื่อ g1 = หรม.(a,p) และ g2 = หรม.(q,c)
ตัวอย่างการประยุกต์ใช้
ตัวอย่างที่ 10 จงแยกตัวประกอบ 3x2 + 10x – 25
จากทฤษฎีจะได้ pq = -75 และ p+q = -10 จะได้ว่า p = -15 และ q = 5
3x2 + 10x – 25 = 3x2 - 15x + 5x – 25
= 3x(x - 5) + 5(x - 5)
= (3x + 5)(x - 5)
ตัวอย่างที่ 11 จงแยกตัวประกอบ 9x2 - 43x – 10
จากทฤษฎีจะได้ pq = -90 และ p+q = 43 จะได้ว่า p = 45 และ q = -2
9x2 - 43x – 10 = 9x2 + 45x -2x – 10
= 9x(x + 5) -2(x + 5)
= (9x - 2)(x + 5)
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
ข้อความที่แสดงความสัมพันธ์การเปรียบเทียบเชิงปริมาณในคณิตศาสตร์ได้แก่การเท่ากัน ( = ) และ การไม่เท่ากัน (≠) ในกรณีที่ไม่เท่ากันนั้นเรายังสามารถเปรียบเทียบได้ว่าปริมาณแรกนั้นมากกว่า ( > ) หรือน้อยกว่า (<) ปริมาณที่สอง เมื่อพิจารณานิเสธกล่าวถึงปริมาณที่ไม่มากกว่าจะหมายถึงปริมาณที่มีค่าน้อยกว่า หรือ ปริมาณที่มีค่าเท่ากัน เรียกว่า น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) ในทำนองเดียวกันปริมาณที่ไม่น้อยแทนได้ด้วยมากว่าหรือเท่ากับ (≥) ในกรณีที่ข้อความของเรามีตัวแปรไม่ทราบค่าหนึ่งตัวแปรแสดงการเท่ากันเมื่อเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์เราจะเรียกประโยคสัญลักษณ์ชนิดนี้ว่า สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว แต่หากเป็นการแสดงการไม่เท่ากันไม่ว่าจะเป็น ไม่เท่ากับ มากกว่า น้อยกว่า มากกว่าหรือเท่ากับ น้อยกว่าหรือเท่ากับ เราจะเรียกว่าอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
1.4.1 หลักการแก้สมการและอสมการ
สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวคือสมการที่อยู่ในรูป ax + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นค่าคงที่ เรียก x ว่าตัวแปร หากเราเขียนสมการให้อยู่ในรูปข้างต้น เราจะสรุปได้ว่า x = -b/a เป็นคำตอบของสมการเนื่องจากเมื่อนำ –b/a ไปแทนค่าในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง
หลักการแก้สมการตั้งอยู่บนรากฐานความจริงที่ว่า หากเรามีตาชั่งแขวนที่เดิมมีวัตถุสองข้างที่หนักเท่ากันอยู่ เมื่อเราเพิ่มวัตถุชิ้นที่สามที่มีปริมาณเท่ากันลงไปทั้งสองข้าง ตาชั่งจะยังคงสมดุลเหมือนเดิม ถ้าเราสมมติให้ วัตถุสองชิ้นแรกคือ a และ b ให้ c เป็นวัตถุชิ้นที่สามแล้วจะได้ว่า
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
ในทำนองเดียวกันหากเราเอาปริมาณชิ้นที่หนึ่งออก c หน่วย และเอาปริมาณชิ้นที่สองออก c หน่วยเช่นกันแน่นอนว่าตาชั่งของเราจะยังคงสมดุลนั้นคือ
ถ้า a = b แล้ว a - c = b - c
พิจารณาการดำเนินการต่อมา เนื่องจาก a และ b มีขนาดเท่ากันถ้าเรานำ a เพิ่มทางซ้าย และ b เพิ่มทางขวาจำนวน k ครั้งตาชั่งของเราจะยังคงสมดุล
ถ้า a = b แล้ว ka = kb
ยังรวมไปถึงการพิจารณาในเชิงสัดส่วนหรือการหารโดยที่ตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์นั้นคือ
ถ้า a = b แล้ว a/k = b/k
สำหรับอสมการ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวอาจอยู่ในรูป ax + b ≠ 0 นั้นคือ ax + b < 0 หรือ ax + b > 0 รวมถึง ax + b ≤ 0 และ ax + b ≥ 0 สำหรับการบวกหรือลบทั้งสองข้างของอสมการด้วยจำนวนที่เท่ากันจะเป็นแบบเดียวกันกับสมการนั้นคือ เมื่อเพิ่มเข้า หรือ นำออกเท่ากับทั้งสองข้างตาชั่งจะยังคงอยู่ในสภาพเดิม
ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
ถ้า a < b แล้ว a - c < b - c
แต่สำหรับการคูณ และการหารเราจำเป็นต้องแยกเป็นสองกรณีคือ กรณีที่ตัวคูณเป็นจำนวนบวก และกรณีที่ตัวคูณเป็นจำนวนลบ ซึ่งกรณีที่ตัวคูณเป็นจำนวนบวก ตัว 2 > 3 เมื่อคูณด้วย 5 ทั้งสองข้างจะได้ 10 > 15 แต่หากเป็นการคูณด้วยจำนวนลบจะได้ -10 < -15 พบว่าเครื่องหมายอสมการจะกลับข้าง
ถ้า a < b และ k<0 แล้ว ka < kb
ถ้า a < b และ k>0 แล้ว ka > kb
1.4.2 วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
วิธีการแก้สมการนั้นให้หลักการบวก (ลบ) หรือ คูณ (หาร) เข้าไปทั้งสองข้างของสมการ
สมการที่อยู่ในรูป ax + b = 0
ขั้นตอนที่ 1 กำจัดพจน์ที่ไม่มีตัวแปรคือ b โดยการบวกด้วยจำนวนตรงกันข้ามคือ –b
ax + b + (-b) = 0 + (-b)
ax = -b
ขั้นตอนที่ 2 กำจัดสัมประสิทธิ์ที่คูณอยู่กับตัวแปรคือ a โดยการคูณด้วยตัวผกผันของ a คือ 1/a
(1/a)ax = (1/a)(-b)
x = -b/a
จะเห็นว่าสมการ ax + b = 0 จะมี x = -b/a เป็นคำตอบ
ตัวอย่างที่ 12 4x + 6 = 0 จะได้ x = -6/4 = -3/2
ตัวอย่างที่ 13 4x – 6 = 0 จะได้ x = -(-6)/4 = 6/4 = 3/2
ตัวอย่างที่ 14 -4x + 6 = 0 จะได้ x = -6/(-4) = 6/4 = 3/2
ตัวอย่างที่ 15 -4x – 6 = 0 จะได้ x = -(-6)/(-4) = -6/4 = -3/2
สมการที่อยู่ในรูป ax + b = c
ขั้นตอนที่ 1 กำจัดพจน์ที่ไม่มีตัวแปรคือ b โดยการบวกด้วยจำนวนตรงกันข้ามคือ –b
ax + b + (-b) = c + (-b)
ax = c - b
ขั้นตอนที่ 2 กำจัดสัมประสิทธิ์ที่คูณอยู่กับตัวแปรคือ a โดยการคูณด้วยตัวผกผันของ a คือ 1/a
(1/a)ax = (1/a)(c - b)
x = (c - b)/a
จะเห็นว่าสมการ ax + b = c จะมี x = (c - b)/a เป็นคำตอบ
ตัวอย่างที่ 16 4x + 6 = 10 จะได้ x = (10 - 6)/4 = 4/4 = 1
ตัวอย่างที่ 17 4x – 6 = 10 จะได้ x = (10 + 6)/4 = 16/4 = 4
ตัวอย่างที่ 18 -4x + 6 = 10 จะได้ x = (10 - 6)/(-4) = 4/(-4) = -1
ตัวอย่างที่ 19 -4x – 6 = 10 จะได้ x = (10 + 6)/(-4) = 16/(-4) = -4
สมการที่อยู่ในรูป ax + b = cx
ขั้นตอนที่ 1 กำจัดพจน์ที่มีตัวแปร x ให้เหลือเพียงพจน์เดียวโดยการบวกด้วย –cx ทั้งสองข้าง
ax + b + (-cx) = cx + (-cx)
(a - c)x + b = 0
ขั้นตอนที่ 2 เรารู้ว่า ax + b = 0 จะมีคำตอบในรูป x = -b/a ดังนั้น (a - c)x + b = 0 จะมีคำตอบในรูป
x = -b/(a – c)
จะเห็นว่าสมการ ax + b = cx จะมี x = -b/(a - c) เป็นคำตอบ
ตัวอย่างที่ 20 4x + 6 = 10x จะได้ x = -6/(4 - 10) = (-6)/(-6) = 1
ตัวอย่างที่ 21 4x - 6 = 10x จะได้ x = 6/(4 - 10) = 6/(-6) = -1
ตัวอย่างที่ 22 -4x + 6 = 10x จะได้ x = -6/(-4 - 10) = 6/14 = 3/7
ตัวอย่างที่ 23 -4x - 6 = 10x จะได้ x = 6/(-4 - 10) = 6/(-14) = - 3/7
สมการที่อยู่ในรูป ax + b = cx + d
ขั้นตอนที่ 1 กำจัดพจน์ที่มีตัวแปร x ให้เหลือเพียงพจน์เดียวโดยการบวกด้วย –cx ทั้งสองข้าง พร้อมกำจัดสัมประสิทธิ์ b ด้วยการบวกด้วย –b ทั้งสองข้างจะได้
(-cx) + ax + b + (-b) = (-cx) + cx + d + (-b)
(a - c)x = d - b
ขั้นตอนที่ 2 กำจัดสัมประสิทธิ์ที่คูณอยู่กับตัวแปรโดยการคูณด้วยตัวผกผันของ (a – c) คือ 1/(a – c)
(1/(a - c)) (a - c)x = (1/(a-c)) (c - b)
x = (c - b)/(a - c)
จะเห็นว่าสมการ ax + b = cx + d จะมี x = (d-b)/(a-c) เป็นคำตอบ
ตัวอย่างที่ 24 4x + 6 = 10x + 12 จะได้ x = (12 – 6)/(4 - 10) = (6)/(-6) = -1
ตัวอย่างที่ 25 4x - 6 = -10x + 12 จะได้ x = (12 + 6)/(4 + 10) = 18/14 = 9/7
ตัวอย่างที่ 26 4x - 6 = 10x - 12 จะได้ x = (-12 + 6)/(-4 + 10) = (-6)/(-6) = -1
ตัวอย่างที่ 27 -4x - 6 = -10x + 12 จะได้ x = (12+6)/(-4 + 10) = 18/(-14) = - 9/7
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
1.4.3 วิธีแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ในทำนองเดียวกันสำหรับอสมการ
อสมการที่อยู่ในรูป ax + b < 0
กรณีที่ a > 0 จะได้ x < -b/a เช่น 2x – 6 < 0 จะได้ x < 6/2 = 3
กรณีที่ a < 0 จะได้ x > -b/a เช่น -2x - 6 < 0 จะได้ x > 6/2 = 3
อสมการที่อยู่ในรูป ax + b < c
กรณีที่ a > 0 จะได้ x < (c - b)/a เช่น 2x + 6 < 8 จะได้ x < (8 – 6)/2 = 1
กรณีที่ a < 0 จะได้ x > (c – b)/a เช่น -2x + 6 < 8 จะได้ x > (8 – 6)/2 = 1
อสมการที่อยู่ในรูป ax + b < cx + d
กรณีที่ a - c > 0 (a > c) จะได้ x < (d - b)/(a – c) เช่น 3x + 6 < 2x - 4 จะได้ x < (-4 – 6)/(3-2) = -10
กรณีที่ a - c < 0 (a < c) จะได้ x > (d – b)/(a – c) เช่น -3x + 6 < 2x - 4 จะได้ x > (-4 – 6)/(-3 – 2) = 2
- สมการและอสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
สมการกำลังสองตัวแปรเดียวคือสมการที่อยู่ในรูป ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงที่ สำหรับอสมการสมกำลังสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป ax2 + bx + c 0 รวมถึง < , > , , อย่างไรก็ตามโดยหลักการพหุนามกำลังสองจะมีค่ารากสองรากเสมอนั้นคือ
P(x) = ax2 + bx + c = (px + q)(rx + s)
1.5.1 หลักการแก้สมการและอสมการ
หลักการแก้สมการและอสมการกำลังสองนั้นมีหลักการพื้นฐานจากทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0
ทฤษฎีบท ถ้า ab < 0 แล้ว โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป a > 0 และ b < 0
ทฤษฎีบท ถ้า ab > 0 แล้ว (a < 0 และ b < 0) หรือ (a > 0 และ b > 0)
1.5.2 วิธีแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
พิจารณาคำตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 สมการดังกล่าวอาจมีคำตอบเป็นจำนวนจริงสองคำตอบ มีเพียงคำตอบเดียว หรือ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงก็ได้ เราสามารถพิจารณาได้ค่า discriminant
จาก ax2 + bx + c = 0 นำ a หารตลอดสมการและเขียนนิพจน์ทางซ้ายมือในรูปกำลังสองสมบูรณ์
x2 + (b/a)x + c/a = 0
(x + b/2a)2 = b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)
สังเกตว่านิพจน์ทางซ้ายมือถูกยกกำลังสองมีค่ามากกว่า หรือ เท่ากับศูนย์
กรณีที่ b2 – 4ac < 0 สมการไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง
กรณีที่ b2 – 4ac = 0 สมการมีคำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียวคือ -b/2a
กรณีที่ b2 – 4ac > 0 สมการมีคำตอบเป็นจำนวนจริงสองคำตอบคือ
(–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a)
ตัวอย่างที่ 28 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสำหรับสมการ 2x2 – 3x + 5 = 0
พิจารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(5) = 9 – 40 = -36 < 0 ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
ตัวอย่างที่ 29 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสำหรับสมการ 2x2 – 4x + 2= 0
พิจารณา discriminant = (-4)2 – 4(2)(2) = 16 – 16 = 0 < 0 ดังนั้นสมการคำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงคำตอบเดียวซึ่ง x = -(-4)/(2x2) = 1 เป็นคำตอบของสมการ
ตัวอย่างที่ 30 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสำหรับสมการ 2x2 – 3x – 5 = 0
พิจารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 ดังนั้นสมการนี้มีคำตอบเป็นจำนวนจริงสองคำตอบคือ (3+7)/(2x2) และ (3-7)/(2x2) ดังนั้น {5/2, -1} เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของสมการ
1.5.3 วิธีแก้อสมการกำลังสองตัวแปรเดียว
ในการพิจารณาคำตอบของอสมการในที่นี้ผู้เขียนจะศึกษาเพียงสองกรณีเป็นตัวอย่างได้แก่ ax2 + bx + c < 0 และ ax2 + bx + c > 0 สำหรับกรณีอื่นนั้นสามารถพิจารณาได้ในทำนองเดียวกัน นอกจากนี้การจัดรูปอสมการจะกล่าวถึงกรณีที่ a > 0 เท่านั้นเราสามารถจัดรูปตามเงื่อนไขได้ก่อนแก้สมการเสมอ
จาก ax2 + bx + c < 0 นำ a > 0 หารตลอดอสมการและเขียนนิพจน์ทางซ้ายมือในรูปกำลังสองสมบูรณ์
x2 + (b/a)x + c/a < 0
(x + b/2a)2 < b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)
ถ้า discriminant < 0 แล้ว (x + b/2a)2 - (b2 – 4ac)/(4a2) < 0 ไม่มีค่า x ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับอสมการดังนั้นอสมการนี้ไม่มีคำตอบ ( จำนวนบวก + จำนวนบวก ผลลัพธ์เป็น จำนวนบวก )
ถ้า discriminant = 0 จะได้ (x + b/2a)2 < 0 จะเห็นได้ว่าไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงเช่นเดียวกันกับกรณีข้างต้น
ถ้า discriminant > 0 สมมติให้ r = (–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ s = (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a) จะได้ว่า (x - r)(x - s) < 0 แต่ r < s นั้นคือ x – r > 0 แต่ x – s < 0 สรุปได้ว่า r < x < s เป็นคำตอบของอสมการ หมายเหตุ กรณี x – r < 0 และ x – s > 0 เป็นไปไม่ได้เพราะ s < x < r เกิดข้อขัดแย้งกับ r < s
ตัวอย่างที่ 31 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสำหรับสมการ 2x2 – 3x – 5 < 0
พิจารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 จะได้ค่า r = (3-7)/(2x2) = -1 และ s = (3+7)/(2x2) = 5/2 และ ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ { จำนวนจริง x, -1 < x < 5/2 }
จาก ax2 + bx + c > 0 นำ a > 0 หารตลอดอสมการและเขียนนิพจน์ทางซ้ายมือในรูปกำลังสองสมบูรณ์
x2 + (b/a)x + c/a > 0
(x + b/2a)2 > b2/4a2 – c/a = (b2 – 4ac)/(4a2)
ถ้า discriminant < 0 แล้ว (x + b/2a)2 - (b2 – 4ac)/(4a2) > 0 ไม่ว่า x เป็นจำนวนจริงใด ๆย่อมสอดคล้องกับอสมการเสมอดังนั้นอสมการนี้มีคำตอบเป็นเซตของจำนวนจริง ( จำนวนบวก + จำนวนบวก ผลลัพธ์เป็น จำนวนบวก )
ถ้า discriminant = 0 จะได้ (x + b/2a)2 > 0 จะเห็นได้ว่าเซตจำนวนจริงใดที่ไม่ใช่ –b/2a อาจกล่าวได้ว่า x ≠ -b/2a เป็นคำตอบของอสมการ
ถ้า discriminant > 0 สมมติให้ r = (–b - sqrt{b2-4ac})/(2a) และ s = (–b + sqrt{b2-4ac})/(2a) จะได้ว่า (x - r)(x - s) > 0 และ r < s นั้นคือ
(x – r < 0 และ x – s < 0) หรือ (x – r > 0 และ x – s > 0)
( x < r และ x < s) หรือ ( x > s และ x > r )
(x < r) หรือ (x > s)
สรุปได้ว่า x < r หรือ x > s เป็นคำตอบของอสมการ
ตัวอย่างที่ 32 จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสำหรับสมการ 2x2 – 3x – 5 > 0
พิจารณา discriminant = (-3)2 – 4(2)(-5) = 9 + 40 = 49 < 0 จะได้ค่า r = (3-7)/(2x2) = -1 และ s = (3+7)/(2x2) = 5/2 และ ดังนั้น คำตอบของอสมการคือ { จำนวนจริง x, x < -1 หรือ x > 5/2 }
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
1.6.2 คุณสมบัตินิพจน์เชิงสัดส่วน
สมมติให้ A, B, C, D และ E เป็นพหุนามใด ๆที่เมื่อถูกเขียนเป็นตัวส่วนแล้วมีค่าไม่เท่ากับศูนย์แล้ว
สมบัติข้อที่ 1 สมบัติการเท่ากัน
A/B = C/D ก็ต่อเมื่อ AD = BC
ตัวอย่างที่ 35
(x + y)/(x – y) = 2/3 โดยที่ x ไม่เท่ากับ y
จากสมบัติการเท่ากันจะได้
3(x + y) = 2(x – y)
สรุปได้ว่า x = -5y
สมบัติข้อที่ 2 สมบัติการลดรูปอย่างง่าย
PK/QK = P/Q
สอดคล้องกับตัวอย่างที่ 34
สมบัติข้อที่ 3 สมบัติการบวกและการลบ
P/Q + R/S = (PS + QR)/(QS)
P/Q – R/S = (PS – QR)/(QS)
ตัวอย่างที่ 36
5/(x + y) + (x + 2)/(x – y) = [5(x – y) + (x + y)(x + 2)]/[(x – y)(x + y)]
= [5x – 5y + x2 + 2x +xy + 2y]/[x2 – y2]
= [x2 + xy + 7x – 3y]/[x2 – y2]
ตัวอย่างที่ 37
5/(x + y) – (x + 2)/(x – y) = [5(x – y) + (x + y)(x – 2)]/[(x – y)(x + y)]
= [5x – 5y + x2 – 2x +xy – 2y]/[x2 – y2]
= [x2 + xy + 3x – 7y]/[x2 – y2]
สมบัติข้อที่ 4 สมบัติการคูณและการหาร
(P/Q)(R/S) = (PR)/(QS)
(P/Q)/(R/S) = (PS)/(QR)
ตัวอย่างที่ 38
[(x – y)/(x + y)][(x – 1)/(x + 1)] = [(x – y)(x – 1)]/[(x + y)(x + 1)]
= [x2 – xy – x + y]/[x2 + xy + x + y]
ตัวอย่างที่ 39
[(x – y)/(x + y)]/[(x – 1)/(x + 1)] = [(x – y)(x + 1)]/[(x + y)(x – 1)]
= [x2 – xy + x – y]/[x2 + xy – x – y]
แหล่งที่มา
Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.
Return to contents
บุคคลทั่วไป
